変数と関数を定義する

3.75 2.5 1.25 0 -1.25 -2.5

10

0

-10

-20

x y

x y

複素多項式を因数分解します. x³−13

5ix²−8x²+29 5ix+81

5x+ 6i−18

5 = (x−3)( x+²₅i)

(x−(5 + 3i)) 多項式の解は3,−²₅i, 5 + 3i^です.

5^{次以上の多項式}

5次以上の多項式については常に近似値が算出されます. 解の表示桁数は数式処理設定や計算エン ジン設定コマンドで行ないます(^参照29^ページ).

◮ 多項式+^複素数解

5x⁵+ 5x⁴−10x³−10x²+ 5x+ 5,^解: 1.0 1.0

−1.0

−1.0

−1.0

x⁸+x⁷+x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+ 1,^解:

−0.939 69−0.342 02i

−0.939 69 + 0.342 02i 0.173 65 + 0.984 81i 0.173 65−0.984 81i

−0.5 + 0.866 03i

−0.5−0.866 03i 0.766 04−0.642 79i 0.766 04 + 0.642 79i

3.2 ^{変数と関数を定義する}

記号を使って数式オブジェクトを定義したり,既存の数式を組合せて新たな関数を定義する場合は 関数の定義コマンドを利用します. 関数定義サブメニューにある新しい定義,^{定義の削除},^定義の 一覧,全定義の削除コマンドについて解説します. 関数定義の詳細については第5^章, 97^ページを 参照してください.^微積分,^ベクトル,行列における利用例について各ページで解説されています.

3.2.1 ^{変数に値を代入する}

変数に値を代入する場合には関数の定義コマンドを利用します.

◮ z ^に5^{を代入する}

1. ^{数式モードで}⃗z= 5^と記述し,カーソルを数式内に配置します.

2. ^{数式処理ツールバーの をクリックします}. ^または,^関数定義+^{新しい定義を選ぶか}, ctrl+=^{キーを押します}.

これにより,^{関数の定義を削除する}(^参照62^ページ)^までの間,z ^は5^{として解釈されます}. ^つま

り, 3 +z^{の計算結果は}8^{になります}.^{文書を閉じたり},^{開いたりした時の},^{定義した変数の動作に}

関する詳細は108ページを参照してください.

変数は通常1^{文字で表されます}(^参照97^ページ). 変数には数値以外にも色々な値を代入できま す. ^{その例を次に示します}.

• ^数値: a= 245

• ^多項式:p=x³+ 3x²−5x+ 1

• ^{多項式の商}: b=x²−1 x²+ 1

• ^行列: z= [ a b

c d ]

こ こ で 記 号 p ^{は 数 式}x³+ 3x²−5x+ 1 と 定 義 さ れ て い ま す. ^{し か し}, こ れ は 関 数 で は あ り ま せ ん. ^{つ ま り}, p(2) ^は x = 2の 時 の 値 を 示 す も の で は あ り ま せ ん. ^{実 際}, p(2) ^{は 積} 2p = 2x³+ 6x²−10x+ 2^{と解釈されます}.

3.2.2 1 ^{変数の関数を定義する}

関数の定義は,^{次の方法で行います}. 関数の後に変数をカッコ付きで書き,^{等号とその右辺に数式} を記述します.

◮ 関数名をf ^とし,x^{における値を}ax²+bx+c ^とします. 1. ^{数式入力モードで},^式f(x) =ax²+bx+c^{を記述します}. 2. カーソルを式に配置します.

3. 数式処理ツールバーの新しい定義のボタン をクリックします. ^または,^{関数定義サブ} メニューから新しい定義を選択します. ^または,ctrl+=^とします.

よって関数の定義を削除するまで記号f は関数として利用できます. ^例えば,f(t) ^{に計算コマン} ドを実行するとf(t) =at²+bt+c^{となります}.

Note ^関数f(y) =ay²+by+c^とf(x) =ax²+bx+cを定義することはまったく同じことで す. 変数にどんなアルファベットを使っても機能的には同じです. ^しかし,^{見かけ上は異な}

3.2 ^{変数と関数を定義する} 61

る式を定義することができます. 例えば, 2^つの式y=x²+√

x^とy=t²+√

t^はy^{を表すための表現が}x^とt^{で異なっています} から,式としては別の存在なります. ^しかし,^{実質的には}f(x) =x²+√

x^とf(t) =t²+√ t^で計 算結果は同じになります.

いま,g^とhが既に定義されている関数であるとすれば,次ように別の関数を作成することが可能 です.

f(x) = 2g(x) f(x) =g(x) +h(x) f(x) =g(x)h(x) f(x) =g(h(x))

g^とh^{を定義して},さらに上記のように入力した各f(x)に対して計算コマンドを実行します. ^計 算コマンドをf に対して実行するたびに,既存の定義に新しい定義が上書きされます. ^例えば,^一 度定義したf(x) = 2g(x)^に対して g(x)^{の定義を変更すると},^{結果として}f(x)^{の定義も更新さ} れることになります.

Note ^{代数式には},f±g,f◦g,f g,f⁻¹のようなオブジェクトも含まれます. x^での f+g^の 値は,f(x) +g(x)^{と書きます}. ^定義した2^{つの関数式}f ^およびg^{の合成関数は},f(g(x)) または(f◦g) (x) ^{と書きます}. ^定義した2^{つの関数の積は},f(x)g(x)^{と書きます}. ^求解+ 解を選択して,^関数式f(y) =x^で,^{変数として}y^{を与えるような}f(x)^{の逆関数を求める} ことができます.

Example 4 f(x) =x²+ 3x+ 5^およびg(x) =x³−1^{を定義して},^計算する f(3) = 23

g(3) = 26 f(g(3)) = 759 g(f(3)) = 12166 f(4 + 5i) = 8 + 55i

f(f(f(4 + 5i))) = 7495808−6124745i

関数y=f(x)の逆関数を求めることができます. ^変数x^とy^{を入れ替えて}y^{について求解の計} 算を行ないます.

◮ 関数f(x) = 5x−3^{の逆関数を求める}

1. ^関数f(y)^をf(y) = 5y−3と入力して計算コマンドを実行します.

2. ^関数5y−3 =x^に対してy^{を独立変数して求解}+解コマンドを実行します.

計算結果はy=¹₅x+³₅ ^{となります}. よって次の式が得られます. f⁻¹(x) =¹₅x+³₅

次のようにして,この答えの検算を行ないます. ^関数f(x) = 5x−3^とg(x) = ¹₅x+³₅ ^を定義し ます(^関数名にf^{−1 を使うと},^{上手く機能しません}). ^{ここで関数}f(g(x))^とg(f(x))^{に計算コマ} ンドを実行します. ^その結果,f(g(x)) = x^であり,^また,g(f(x)) = x^{となります}. ^関数g^がf の逆関数であることが分かります.

3.2.3 複数変数を持つ関数を定義する

◮ 複数の変数を持つ関数を定義する

1. ^{例として関数}f(x, y, z) =ax+y²+ 2z ^またはg(x, y) = 2x+ sin 3xy ^{を入力します}. 2. 数式にカーソルを配置します.

3. 数式処理ツールバーから新しい定義ボタン をクリックするか,^または,^{関数定義サブメ} ニューから新しい定義コマンドを選択します.

変数が1^つの場合,数式処理システムは関数に計算コマンドを実行した結果を,^{新しい関数の定義} として認識します.

3.2.4 ^{定義の表示と削除}

自分で定義した関数や数式の情報を保存したり,削除する方法について解説します.

◮ 定義した変数や関数を一覧表示する

• 数式処理ツールバーの定義の表示ボタン をクリックするか, ^{または関数定義サブメ} ニューから定義の表示を選択します.

画面上に定義が表示されます. 変数と関数は定義した順番にしたがって,^{一覧表示されます}.

◮ 文書から定義を削除する

1. 削除する数式にカーソルを配置するか,または関数名や式を選択します. 2. 関数定義サブメニューから定義の削除を選択します.

関数定義サブメニューから定義の表示を選択します.削除した関数または数式がダイアログに表示 されないことを確認します.

◮ 文書のすべての定義を削除する

• 関数定義サブメニューから,全定義の削除を選択します.

既存の定義関数は文書が開いている間,アクティブな状態になっています. ^{デフォルトでは},^定義 した関数は文書内に保存され,その文書を開いたときに,メモリに読み込まれます. ^{この設定を変} 更して関数定義の情報を削除することも可能です. ^{関数定義の保存},^読み込み,^{全定義の削除など} に関する詳細は108ページを参照してください.

関数式をどんな名前で定義しても,それを忘れてしまうことがあります. ^{例えば関数}a=x^{2 を既}